Etude de certaines équations diophantiennes exponentielles

Abstract

Cette thèse est consacrée essentiellement à l'étude de certaines équations diophantiennes exponentielles de la forme (a^n-1)(b^n-1)=x^2et (a^n-1)(b^m-1)=x^2, où n, m et x sont des inconnues, et a et b des entiers distincts et strictement supérieurs à 1. L'étude de ces équations a été initiée par Szalay, qui a montré la non-résolubilité de l'équation (2^n-1)(3^n-1)=x^2. Son résultat a ensuite ouvert la voie à d'autres avancées réalisées par divers auteurs, tels que Hajdu, Cohn ,Ishii. Cette thèse est composée de trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous étudions le développement en fraction continue d'un nombre réel, en particulier celui de l'irrationnel vd, où d est un entier strictement positif et non carré. Ce développement est essentiel à la résolution de l'équation de Pell-Fermat. Dans le second chapitre, nous commençons par présenter l'algorithme de résolution de l'équation de Pell-Fermat ainsi que l'ensemble de ces solutions. Ensuite, nous donnons le lien entre les solutions de l'équation de Pell-Fermat et les polynômes de Tchebychev. Enfin, nous donnons des résultats originaux sur des congruences vérifiées par les solutions de l'équation de Pell-Fermat. Dans le troisième chapitre, nous rappelons des propriétés du symbole de Legendre et nous présentons les nouveaux résultats que nous avons obtenu concernant les équations diophantiennes (a^n-1)(b^n-1)=x^2et (a^n-1)(b^m-1)=x^2.