Propriétés combinatoires des cubes de Fibonacci et de Lucas et généralisations

Abstract

Le cube de Fibonacci est un sous-graphe de l’hypercube Qn , engendr´e par les mots binaires qui ne contiennent pas deux 1 cons´ecutifs. Il est introduit au d´ebut des ann´ees 90 comme un nouveau mod`ele de r´eseau d’interconnexion, et ce n’est qu’au d´ebut des ann´ees 2000 qu’on leurs trouvent ´egalement des applications en Chimie Th´eorique. Depuis leurs introduction, ils ont inspir´e bon nombre de travaux de re- cherche, leurs caract´eristiques ont ainsi permis de mettre en ´evidence des relations combinatoires int´eressantes. Par la suite, d’autres structures furent propos´ees, parmi lesquels les cubes de Fibonacci g´en´eralis´es que nous nommons cubes s-bonacci ins- pir´es de la suite de Fibonacci g´en´eralis´ee d’ordre s ´egalement connue sous le nom de suite s-bonacci. Le cube s-bonacci est alors d´efini comme un sous-graphe de l’hyper- cube, engendr´e par les mots binaires ne contenant pas s 1 cons´ecutifs. Le cas s = 2 correspond au cube de Fibonacci et s = 3 au cube Tribonacci. Cette th`ese est consacr´ee a` l’´etude de ces graphes, plus pr´ecis´ement nous ´etudions certaines de leurs propri´et´es structurelles et ´enum´eratives. Dans un premier, nous nous int´eressons au cube Tribonacci, ou` nous mettons en ´evidence des relations de r´ecurrences et des formules explicites sur le nombre de sommets et le nombre d’arˆetes, ou encore le nombre de sous-graphes du cube Tribonacci qui sont isomorphes a` l’hypercube de dimension k. Nous nous int´eressons ´egalement a` la distance de ces sous-graphes par rapport au sommet 0n. En second lieu nous g´en´eralisons les r´esultats obtenus dans le cas des cubes Tribonacci aux cubes s-bonacci. Nous mettons en ´evidence la relation existant entre le cube de Fibonacci et le cube Tribonacci. Nous ´elaborons une bijection entre l’ensemble des codes de Zeckendorf pour les Lucas et l’ensemble des sommets du cube de Lucas.