Stabilization of some evolution problems with different types of dampings

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes d’évolution dissi-patifs sous différents types d’amortissement, distribués localement ou globalement dans des domaines bornés et réguliers. Nous commençons par une brève introduction dans laquelle nous exposons l’interprétation physique des modèles étudiés et les grandes lignes de la thèse. L’introduction est suivi par quatres chapitres. Dans le chapitre 1, nous rappelons quelques no-tion de la géométrie riemannienne et d’analyse fonctionnelle. Comme cette thèse est basée sur la théorie des semi-groupes et de l’analyse spectrale, nous donnerons quelques résultats bien connus concernant les semi-groupes, y compris des théorèmes sur la stabilité forte, ex-ponentielle et polynomiale d’un C0-semi-groupe. Dans le chapitre 2, nous étudions la stabilité d’une équation d’ondes à coefficients variables avec deux types d’amortissement viscoélastique (Kelvin-Voigt et une mémoire) et des conditions de type Wentzell et à un retard sur le bord. En suivant le critère de W. Arendt et C. J. K. Batty, nous montrons que le semi-groupe associé au système étudié est fortement stable. Ensuite, en utilisant une approche en domaine fréquen-tiel, combinée avec la technique de multiplicateur, et sous une hypothèse appropriée entre la fonction d’amortissement interne c et le retard à la frontière ainsi que certaines hypothèses géométriques, nous montrons que, tant en l’absence qu’en présence de retard, les énergies des systèmes décroissent de manière exponentielle. Dans le chapitre suivant, nous examinons la décroissance de l’énergie d’une poutre piézoélectrique unidimensionnelle avec un amortisse-ment visqueux distribué globalement et sous une loi thermique (Coleman ou Pipkin)-Gurtin et la gauge de Lorenz. Une décroissance exponentielle des solutions est obtenue par analyse spec-trale dans le cas de la loi thermique de Coleman-Gurtin, même si les composantes du champ électrique dans les directions x et z ne sont pas amorties. Ensuite, en étudiant le cas de la loi thermique de Gurtin-Pipkin, en présence de mécanismes d’amortissement, une décroissance polynomiale de la solution de taux t-1 est établie. Dans le chapitre 4, nous étudions la stabil-isation d’une équation de plaque thermoélastique de Kirchhoff avec un retard sur la frontière. En suivant les critères de W. Arendt et C. J. K. Batty, nous prouvons un résultat de stabilité forte. Ensuite, en nous basant sur les critères de F. Huang et J. Prüss, nous prouvons qu’en contrôlant le retard et en impliquant une condition de contrôle géométrique de multiplicateur (MGC), le semi-groupe associé au système est exponentiellement stable. En conclusion, nous formulons plusieurs questions ouvertes.