Some results on supersingular elliptic curves

Abstract

Soit $K$ un corps parfait de caractéristique positive $p$. Il existent un nombre fini de calasses d'isomorphisme de courbe elliptique supersingulières sur $\overline{K}$ et ils sont tous définies sur $\mathbb{F}_{p^{2}}$. La détermination de ses classes d'isomorphisme constitue une question de recherche très importante et on a différentes recherches sur ce sujet. Les cas particuliers $p=2$ et $p=3$ ont été étudiés séparément. Le cas général $p\geq 5$ a intéressé de nombreux chercheurs et a été résolus de différent méthodes. L'objet original de ce travail est d'apporter une preuve explicit pour le cas particulier $p=5$. Pour notre objet, nous avons étudié la théorie des extensions de corps pour comprendre certains notions et résultats dans cette théorie : la clôture algébrique d'un corps, les corps parfaits et les corps finis qui sont arithmétiquement importants pour l'étude des courbes algébriques et en particulier des courbes elliptiques. Nous avons également eu besoin d'acquérir quelques notions de base dans la théorie de la géométrie algébrique pour comprendre certaines propriétés arithmétiques des courbes elliptiques et ensuite trouver les résultats nécessaires dans cette théorie pour notre preuve.