Quelques problèmes de systèmes dynamiques et de géométrie symplectique

Abstract

Dans le domaine des systèmes dynamiques, les contributions révolutionnaires de Kolmogorov, Arnold et Moser ont établi une base solide pour comprendre la stabilité des mouvements quasi-périodiques, particulièrement dans le cadre des systèmes hamiltoniens. Leur travail pionnier, qui élucide les conditions sous lesquelles les tores lagrangiens restent invariants, a donné naissance au développement de ce qui est maintenant connu sous le nom de théorie KAM. Cette théorie est devenue une pierre angulaire dans l’étude de la stabilité dans les systèmes dynamiques, o?rant des insights profonds sur la persis- tance des orbites quasi-périodiques malgré de petites perturbations. Au fil des décennies, les théorèmes originaux proposés par Kolmogorov, Arnold et Moser ont fait l’objet de recherches approfondies, menant à de nombreuses variations et extensions qui cherchent à explorer le vaste paysage des mouve- ments quasi-périodiques. Ces explorations ont considérablement élargi notre compréhension de la stabilité dynamique dans divers contextes, soulignant la nature robuste de la théorie KAM tout en dévoilant également les limitations et les défis inhérents à son application. Dans cette thèse, nous visons à contribuer à ce riche domaine d’étude en présentant une approche nouvelle et plus conceptuelle, la théorie KAM abstrait, pour aborder les problèmes associés aux mouvements quasi-périodiques sur les tores symplectiques.