Combinatoire et arithmétique modulaire de suites classiques

Abstract

L’objectif principal de cette thèse s’inscrit en combinatoire énumérative et en théorie combinatoire des nombres. Elle étudie la structure du triangle de 2-Pascal, puis établit diverses propriétés de congruence pour les suites combinatoires liées aux coefficients bis nomiaux. Au début, nous démontrons que le triangle de 2-Pascal est lié à certaines familles de matrices de Riordan. À travers la transformation des matrices de Riordan, nous établissons les fonctions génératrices de deux identités impliquant les coefficients du triangle. Ensuite, nous utilisons ces identités pour dériver de nombreuses nouvelles identités combinatoires, où nous obtenons en particulier la fonction génératrice pour la somme des éléments diagonaux le long d’un rayon fini à travers le triangle de 2-Pascal. De plus, nous fournissons plusieurs autres résultats. Dans notre deuxième investigation dans cette thèse, nous nous plongeons dans l’étude approfondie des diverses propriétés de congruence de certaines séquences combinatoires. Tout d’abord, nous établissons certaines propriétés de congruence pour les coefficients quadrinomiaux. Par exemple, nos résultats sont analogues à ceux des congruences de Morley et de Wolstenholme. Ensuite, nous présentons quelques supercongruences pour les coefficients bis nomiaux. Nous donnons une supercongruence similaire à la congruence binomiale de Jacobsthal; en conséquence, nous confirmons la conjecture suivante pour les coefficients bi2nomiaux: (¦(?np?^r@?kp?^m ))_2=(¦(?np?^((r-1) )@?kp?^((m-1) ) ))_2 (modp^2r ) où n et k sont des entiers non négatifs et r=1 est un entier avec p>3 étant un nombre premier impair, comme posé par G.-S. Mao [On some congruences involving trinomial coefficients. Rocky Mountain J. Math. 50(5) (2020), 1759--1771]. Nous généralisons également la congruence de Ljunggren pour les coefficients binomiaux aux coefficients bisnomiaux. De plus, nous obtenons d'autres supercongruences, qui peuvent être considérées comme des versions analogues des congruences de Morley et de Wolstenholme pour tous les coefficients bisnomiaux. De plus, nous étendons les théorèmes de Bailey des coefficients binomiaux aux coefficients bisnomiaux. Pour un entier non négatif n, le coefficient trinomial central généralisé, noté Tn(b,c), est défini comme le coefficient de xn dans le développement de (x2+bx+c)n. Ensuite, nous enquêtons sur certaines congruences concernant les coefficients trinomiaux centraux généralisés. Tout d'abord, pour p étant un nombre premier, nous établissons des congruences de forme générale ?¦(2k+1)^((2a+1) ) (±1)^k T_k (b,c)^4/d^2k , modulo p4 et p3 où a=0,1. Enfin, suivant une autre direction, nous déterminons des congruences impliquant à la fois les nombres harmoniques et les coefficients trinomiaux centraux généralisés de la forme générale ?¦(2k+1)^((2a+1) ) (±1)^k H_k T_k (b,c)^2/d^k , modulo p3 et p2.