Algorithmes stochastiques pour l'estimation du Quantile et des paramètres de la loi de Poisson tronquée

Abstract

Cette thèse comprend deux parties. La première concerne l'estimation du quantile à l'aide d'algorithmes stochastiques et la seconde développe l'estimation des paramètres d'une loi de Poisson a-tronquée. Les deux parties utilisent des algorithmes stochastiques. La première partie consiste à estimer le quantile q, associé à un algorithme récursif stochastique similaire à celui de Robbins-Monro décrit dans Robbins et Monro (1951) et Robbins et Siegmund (1971). Supposons que l'on puisse trouver une fonction F (appelée fonction de contraste) exempte du paramètre q, telle que F (q) = 0. Il est alors possible d'estimer q par l'algorithme de Robbins-Monro : qn+1 = qn + an Tn+1, où an est une suite positive de nombres réels décroissant vers zéro et (Tn) une suite de variables aléatoires telle que E (Tn+1|Fn) = F (qn), où Fn représente la sigma-algèbre des événements survenant jusqu'à l'instant n. Dans des conditions standard sur la fonction F et sur la suite (an), il est bien connu (voir Duflo (1997)) que qn tend presque sûrement vers q.La deuxième partie est consacrée à l'étude des distributions discrètes utilisées, en insistant sur leur comportement en cas de troncature. Nous détaillons la distribution de Poisson a-tronquée, dont un cas particulier est la distribution de Poisson tronquée à zéro. La distribution de Poisson a-tronquée est la distribution d'une variable aléatoire de Poisson Y conditionnelle à l'événement Y > a. Ici, a est la valeur limite telle que seules les valeurs strictement supérieures à a sont autorisées. Nous examinons les solutions des estimateurs pour le paramètre de la distribution de Poisson a-tronquée. L'estimateur du maximum de vraisemblance vérifie une équation de type f(x)=0 avec f non linéaire. Nous utilisons le théorème du point fixe et l'algorithme de Robins-Monro pour trouver des solutions approchées.