Contributions aux problèmes des suites à somme nulle classiques et pondérées

Abstract

Dans le cadre de cette thèse, nous étudions des problèmes liés aux suites à somme nulle sur les groupes abéliens finis, qu'elles soient de nature classique ou pondérée. Soulignons que, dans notre contexte, les suites sont des éléments du monoïde abélien libre sur le groupe G, c’est-à-dire l’ordre de termes de la suite n’est pas pris en compte. Nous commençons par étudier les propriétés algébriques de base de ces monoïdes, puis analysons en détail certains invariants arithmétiques classiques associés à ces structures. Nous démontrons que, pour une large classe de poids, les unions d'ensembles de longueurs sont des intervalles, et nous obtenons divers résultats concernant l'élasticité de ces monoïdes. Des résultats plus détaillés sont obtenus pour le cas particulier des suites plus-moins pondérées. Nous concluons en montrant que nos résultats ne constituent pas seulement une généralisation naturelle de travaux existants, mais qu'ils possèdent également des applications concrètes. En particulier, nous fournissons une application arithmétique en démontrant que ces monoïdes interviennent dans l'étude des monoïdes des normes des entiers algébriques. Enfin, pour les suites à somme nulle classiques, nous déterminons le nombre de suites à somme nulle minimales d'une longueur donnée sur un groupe abélien fini. Avec un argument de type inclusion-exclusion, nous obtenons des résultats exhaustifs pour le cas où la longueur ne dépasse pas cinq.