Generalized Lyapunov and Hartman type inequalities and their applications for linear and nonlinear fractional differential equations under different conditions

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude de classes d’équations différentielles fractionnaires généralisées pouvant être soumises à diverses conditions. Dans un premier temps, nous présentons la dérivée fractionnaire généralisée de type Caputo, dite ?-Caputo, d’ordre a ? (1,2) avec ? > 0. Cet opérateur présente l’intérêt majeur d’unifier, au sein d’un cadre analytique unique, les intégrales fractionnaires classiques de Riemann–Liouville et de Hadamard, ainsi que les dérivées fractionnaires de Caputo et de Caputo–Hadamard. Nous entamons ensuite une analyse détaillée des propriétés de la fonction de Green associée aux équations considérées. Celle-ci joue un rôle central dans l’obtention d’estimations précises et permet la construction de nouvelles inégalités intégrales. Sur la base de ces outils, nous établissons des inégalités généralisées de type Lyapunov et Hartman, valables pour les équations en question, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. L’application de ces inégalités conduit à des résultats significatifs, offrant ainsi des critères efficaces pour l’analyse qualitative des solutions. Les résultats obtenus ne constituent pas une simple extension des travaux antérieurs ; ils apportent une véritable consolidation théorique en proposant un cadre unifié capable d’englober plusieurs cas particuliers d’équations différentielles fractionnaires qui, jusqu’à présent, étaient traités séparément dans la littérature.